Soal-soal Kontekstual tentang Logaritma

Contoh Soal

Suatu populasi mikroorganisme mula-mula berjumlah \(500\) organisme. Populasi tersebut menjadi dua kali lipat setiap \(3\) jam.

Model pertumbuhan populasi tersebut adalah:

\[ N = 500(2)^{\frac{t}{3}} \]

Jika populasi mencapai \(16.000\) organisme, berapa lama waktu yang diperlukan?

Penyelesaian:

Diketahui:

\[ N = 16.000 \]
\[ N = 500(2)^{\frac{t}{3}} \]

Substitusikan nilai \(N=16.000\):

\[ 16.000 = 500(2)^{\frac{t}{3}} \]

Kedua ruas dibagi \(500\):

\[ \frac{16.000}{500} = 2^{\frac{t}{3}} \]

sehingga:

\[ 32 = 2^{\frac{t}{3}} \]

Gunakan hubungan antara bentuk eksponen dan logaritma:

\[ a^x=b \quad\Longleftrightarrow\quad {}^a\log b=x \]

Maka:

\[ {}^2\log 32=\frac{t}{3} \]

Karena:

\[ 32=2^5 \]

maka:

\[ {}^2\log 32=5 \]

Sehingga:

\[ \frac{t}{3}=5 \]

Kalikan kedua ruas dengan \(3\):

\[ t=15 \]

Jadi, waktu yang diperlukan adalah \(15\) jam.

Latihan 1

Suatu populasi mikroorganisme mula-mula berjumlah \(800\) organisme. Populasi tersebut menjadi tiga kali lipat setiap \(4\) jam.

Model pertumbuhan populasi adalah:

\[ N=800(3)^{\frac{t}{4}} \]

Jika jumlah mikroorganisme mencapai \(21.600\), tentukan waktu yang diperlukan.

Latihan 2

Sebuah perangkat elektronik memiliki harga awal \(Rp8.000.000\). Nilai perangkat tersebut berkurang menjadi \(80\%\) dari nilai sebelumnya setiap tahun.

Model nilai perangkat adalah:

\[ V=8.000.000(0,8)^t \]

Jika nilai perangkat menjadi \(Rp4.096.000\), tentukan berapa tahun perangkat tersebut telah digunakan.

Latihan 3

Sebuah kolam ikan mula-mula berisi \(100\) ekor ikan. Jumlah ikan diperkirakan menjadi dua kali lipat setiap \(6\) bulan.

Jika \(t\) menyatakan waktu dalam tahun, model jumlah ikan adalah:

\[ N=100(2)^{2t} \]

Jika jumlah ikan mencapai \(6.400\) ekor, tentukan nilai \(t\).

Latihan 4

Seseorang menabung sebesar \(Rp1.000.000\). Jumlah uang tersebut diasumsikan menjadi dua kali lipat setiap tahun.

Model jumlah tabungan setelah \(t\) tahun adalah:

\[ A=1.000.000(2)^t \]

Jika jumlah tabungan menjadi \(Rp8.000.000\), tentukan berapa tahun waktu yang diperlukan.